Analysis Beispiele

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ , folglich $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{2} x$ nach $x$ gleich $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{π}{2}$ zu dividieren.

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\cos^{2} (u_{1})$ und $\frac{2}{π}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

Schritt 2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{2}{π}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{2}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 9

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Schritt 15.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Schritt 15.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

Schritt 15.1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Schritt 15.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Schritt 15.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $\frac{1}{π}$ mit $\frac{\sin (π x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

Schritt 15.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$