Analysis Beispiele

$\int \cos^{4} (x) \sin^{3} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus.

$\int \cos^{4} (x) (\sin^{2} (x) \sin (x)) d x$

Schritt 2

Schreibe $\sin^{2} (x)$ in $1 - \cos^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int \cos^{4} (x) ((1 - \cos^{2} (x)) \sin (x)) d x$

Schritt 3

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - u^{4} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 4

Multipliziere $- u^{4} (1 - u^{2})$ .

$\int - u^{4} \cdot 1 - u^{4} (- u^{2}) d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int - u^{4} - u^{4} (- u^{2}) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int - u^{4} + 1 u^{4} u^{2} d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $u^{4}$ mit $1$ .

$\int - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

Schritt 5.4

Multipliziere $u^{4}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

Schritt 5.4.2

Addiere $4$ und $2$ .

$\int - u^{4} + u^{6} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - u^{4} d u + \int u^{6} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{4} d u + \int u^{6} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{6} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{7} \cos^{7} (x) + C$