Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (u + 5) (u - 6) d u$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} u (u - 6) + 5 (u - 6) d u$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} u \cdot u + u \cdot - 6 + 5 (u - 6) d u$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} u \cdot u + u \cdot - 6 + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Schritt 1.4

Stelle $u$ und $- 6$ um.

$\int_{0}^{1} u \cdot u - 6 \cdot u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Schritt 1.5

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Schritt 1.6

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{1} - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Schritt 1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} u^{1 + 1} - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Schritt 1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{2} - 6 u + 5 u + 5 \cdot - 6 d u$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$\int_{0}^{1} u^{2} - 6 u + 5 u - 30 d u$

Schritt 1.10

Addiere $- 6 u$ und $5 u$ .

$\int_{0}^{1} u^{2} - u - 30 d u$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} - u d u + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u d u + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u d u + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 30 d u$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 30 u]_{0}^{1}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ und $- 30 u]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 30 u]_{0}^{1} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3} - 30 u$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 30 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 30 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - 30 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} - 30 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} - 30 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.4

Um $- 30$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} - 30 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.5

Kombiniere $- 30$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 30 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 30 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 30$ mit $3$ .

$\frac{1 - 90}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.7.2

Subtrahiere $90$ von $1$ .

$\frac{- 89}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$- \frac{89}{3} - (0 - 30 \cdot 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.11

Mutltipliziere $- 30$ mit $0$ .

$- \frac{89}{3} - (0 + 0) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{89}{3} - 0 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{89}{3} + 0 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.14

Addiere $- \frac{89}{3}$ und $0$ .

$- \frac{89}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 8.2.3.16

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 8.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.2.3.17.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 8.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 8.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 8.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 8.2.3.17.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Schritt 8.2.3.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{89}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 8.2.3.19

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$- \frac{89}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3.20

Um $- \frac{89}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{89}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3.21

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{89}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.2.3.22

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.3.22.1

Mutltipliziere $\frac{89}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.2.3.22.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.2.3.22.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2.3.22.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{89 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Schritt 8.2.3.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 89 \cdot 2 - 3}{6}$

Schritt 8.2.3.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.24.1

Mutltipliziere $- 89$ mit $2$ .

$\frac{- 178 - 3}{6}$

Schritt 8.2.3.24.2

Subtrahiere $3$ von $- 178$ .

$\frac{- 181}{6}$

Schritt 8.2.3.25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{181}{6}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{181}{6}$

Dezimalform:

$- 30.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 30 \frac{1}{6}$

Schritt 10