Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) \tan (x) (1 + \sec (x)) d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$0 + \sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + \sec (x)$ ein.

$u_{lower} = 1 + \sec (0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + \sec (x)$ ein.

$u_{upper} = 1 + \sec (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{3} u d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{3}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $3$ und $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{9}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Schritt 3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2} + \frac{- 2}{1}$

Schritt 3.2.6.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{9}{2} - 2$

Schritt 3.2.7

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.10.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{9 - 4}{2}$

Schritt 3.2.10.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2}$

Dezimalform:

$2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{2}$