Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \cos (4 t)$ . Dann ist $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ , folglich $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \cos (4 t)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (4 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 4 t$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 t$ .

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 \sin (4 t)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = \cos (4 t)$ ein.

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = \cos (4 t)$ ein.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Schritt 1.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Schritt 2.2

Kombiniere $3^{u_{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 5

Das Integral von $3^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ bei $0$ und $1$ .

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Schritt 7.2.2

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

Schritt 7.2.4

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

Schritt 7.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

Schritt 7.2.6

Schreibe $\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ als ein Produkt um.

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{\ln (3)}$ .

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

Schritt 7.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

Schritt 7.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \ln (3)$ heraus.

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

Schritt 7.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

Schritt 7.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

Schritt 7.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

Schritt 7.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \ln (3)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Dezimalform:

$0.45511961 \dots$