Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \tan (x)$ ein.

$u_{lower} = \tan (0)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \tan (x)$ ein.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $u]_{0}^{1}$ und $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ .

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $u + \frac{u^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

Schritt 9.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

Schritt 9.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

Schritt 9.2.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

Schritt 9.2.7

Addiere $0$ und $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

Schritt 9.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

Schritt 9.2.9

Addiere $\frac{4}{3}$ und $0$ .

$5 (\frac{4}{3})$

Schritt 9.2.10

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

Schritt 9.2.11

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{20}{3}$

Dezimalform:

$6.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$6 \frac{2}{3}$