Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} \frac{52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7}{2} - \frac{1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7 - 1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.5

Subtrahiere $1$ von $7$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{6}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{3}{1}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5 - 1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.9

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{4}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2}{1}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.10.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

Schritt 4.13

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 4.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{1} d x$

Schritt 4.15

Vereinfache.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Schritt 6

Da $52$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $52$ aus dem Integral.

$52 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$52 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Schritt 9

Da $- 66$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 66$ aus dem Integral.

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 22 x d x$

Schritt 12

Da $22$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $22$ aus dem Integral.

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 14.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $1$ und $0$ .

$52 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 14.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$52 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 14.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$52 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4

Vereinfache.

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Schritt 14.2.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 14.2.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$52 (\frac{1}{4} - 0) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$52 (\frac{1}{4} + 0) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.5

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$52 (\frac{1}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.6

Kombiniere $52$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{52}{4} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $52$ und $4$ .

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Schritt 14.2.4.7.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$\frac{4 \cdot 13}{4} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.4.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 13}{4 (1)} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 1} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{13}{1} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.7.2.4

Dividiere $13$ durch $1$ .

$13 - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 14.2.4.10.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.4.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} - 0) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3} + 0) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.12

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$13 - 66 (\frac{1}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.13

Kombiniere $- 66$ und $\frac{1}{3}$ .

$13 + \frac{- 66}{3} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 66$ und $3$ .

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Schritt 14.2.4.14.1

Faktorisiere $3$ aus $- 66$ heraus.

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.4.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3 (1)} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3 \cdot 1} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$13 + \frac{- 22}{1} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.14.2.4

Dividiere $- 22$ durch $1$ .

$13 - 22 + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.15

Subtrahiere $22$ von $13$ .

$- 9 + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 14.2.4.17

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 14.2.4.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 14.2.4.18.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 14.2.4.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.4.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 14.2.4.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 14.2.4.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 14.2.4.18.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - 0)$

Schritt 14.2.4.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 14.2.4.20

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$- 9 + 22 (\frac{1}{2})$

Schritt 14.2.4.21

Kombiniere $22$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 9 + \frac{22}{2}$

Schritt 14.2.4.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $2$ .

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Schritt 14.2.4.22.1

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2}$

Schritt 14.2.4.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.4.22.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2 (1)}$

Schritt 14.2.4.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 1}$

Schritt 14.2.4.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 9 + \frac{11}{1}$

Schritt 14.2.4.22.2.4

Dividiere $11$ durch $1$ .

$- 9 + 11$

Schritt 14.2.4.23

Addiere $- 9$ und $11$ .

$2$

Schritt 15