Analysis Beispiele

$\int_{0}^{0.5} 3 \tan (2 x) d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{0}^{0.5} \tan (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 0.5$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 \int_{0}^{1} \tan (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\tan (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{0}^{1} \frac{\tan (u)}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan (u) d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{1} \tan (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{3}{2} \ln (| \sec (u) |)]_{0}^{1}$

Schritt 7

Berechne $\ln (| \sec (u) |)$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \sec (1) |) - \ln (| \sec (0) |))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \sec (1) |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 8.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})}{2}$

Dezimalform:

$0.00022847 \dots$