Analysis Beispiele

$\int \frac{x + 1}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (x + 1) x^{- 3} d x$

Schritt 2

Multipliziere $(x + 1) x^{- 3}$ .

$\int x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 3}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x^{- 3}$ mit $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int x^{- 3} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$