Analysis Beispiele

$\int \frac{x + 1}{x - 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $x + 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$1$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$1$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$1$
					+	$2$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 + \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 5

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$x + 2 \ln (| u |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$x + 2 \ln (| x - 1 |) + C$