Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$ mit $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}}$ und $\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$(\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2})) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 + \sin (0))$

Schritt 5.2.2.4

Addiere $0$ und $\sin (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Schritt 5.3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - \sin (0)$

Schritt 5.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - 0$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$- \frac{0}{2} + 1 - 0$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{2 (0)}{2} + 1 - 0$

Schritt 5.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Schritt 5.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Schritt 5.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{0}{1} + 1 - 0$

Schritt 5.3.5.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 0 + 1 - 0$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 1 - 0$

Schritt 5.3.7

Addiere $0$ und $1$ .

$1 - 0$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$1$