Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (14 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 14 x$ . Dann ist $d u = 14 d x$ , folglich $\frac{1}{14} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 14 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [14 x]$

Schritt 1.1.2

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$14$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 14 x$ ein.

$u_{lower} = 14 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $14$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 14 x$ ein.

$u_{upper} = 14 \frac{π}{2}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$u_{upper} = 2 (7) \frac{π}{2}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \cdot 7 \frac{π}{2}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 7 π$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 7 π$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{7 π} \cos (u) \frac{1}{14} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{14}$ .

$\int_{0}^{7 π} \frac{\cos (u)}{14} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{14}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{14}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{14} \int_{0}^{7 π} \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{14} \sin (u)]_{0}^{7 π}$

Schritt 5

Berechne $\sin (u)$ bei $7 π$ und $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) - \sin (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) - 0)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{14} (\sin (7 π) + 0)$

Schritt 6.3

Addiere $\sin (7 π)$ und $0$ .

$\frac{1}{14} \sin (7 π)$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{14}$ und $\sin (7 π)$ .

$\frac{\sin (7 π)}{14}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\sin (π)}{14}$

Schritt 7.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sin (0)}{14}$

Schritt 7.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{14}$

Schritt 7.2

Dividiere $0$ durch $14$ .

$0$