Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 5

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u))$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Schritt 9.2

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Schritt 9.3

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Schritt 10.3

Addiere $\sin (π)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (π))$

Schritt 10.4

Kombiniere $\sin (π)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 11.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - 0)$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0)$

Schritt 11.4

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 11.5

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 11.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{4}$

Dezimalform:

$0.78539816 \dots$