Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \cos (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \cos (2 x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \cos (2 x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Schritt 1.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 2.2

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ bei $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.2

Kombinieren.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 7.1.3.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.1.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

Schritt 7.5

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

Schritt 7.7

Multipliziere $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ .

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

Schritt 7.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 7.7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{1}{16}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{16}$

Dezimalform:

$0.0625$