Analysis Beispiele

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

Schritt 1

Sei $u = 3 - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 - y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Schritt 2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.4

Versetze die Klammern.

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.7

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.11

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 3.13

Subtrahiere $3 u^{- \frac{2}{3}}$ von $- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 6

Da $- 6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{2}{3}}$ nach $u$ gleich $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $3 - y$ .

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$