Analysis Beispiele

$y = \tan (\sqrt{5 t})$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 t}$ als ${(5 t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\tan ({(5 t)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 t$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\tan ({(5 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $5 (t)$ an.

$\frac{d}{d t} [\tan (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \tan (t)$ und $g (t) = 5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $5^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 10

Kombiniere $5^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Kombiniere $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ und $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Stelle die Faktoren in $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$