Analysis Beispiele

$\int \sqrt[3]{x} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = \sqrt[3]{x}$ .

$\ln (x) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (x) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{\frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x} d x)$

Schritt 4.2

Bringe $x^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} x^{- 1} d x)$

Schritt 4.3

Multipliziere $x^{\frac{4}{3}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} - 1} d x)$

Schritt 4.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} d x)$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} d x)$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} d x)$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4 - 3}{3}} d x)$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{1}{3}} d x)$

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$ als $\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{3 \ln (x)}{4} x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{3 \ln (x)}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{4 \cdot 4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + C$

$\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + C$