Analysis Beispiele

$\int \sqrt{8 - 3 x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ positiv ist.

$\int \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\int \sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{1} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{4 \cdot 2 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.5

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{6}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.8

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ und $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{6} \sin (t)}{3})}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{6} \sin (t)}{3}$ an.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{{(2 \sqrt{6} \sin (t))}^{2}}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.9.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{6} \sin (t)$ an.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{{(2 \sqrt{6})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.9.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{6}$ an.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.10.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 {\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.1.1.10.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.10.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{1} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{24 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.12.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\int \sqrt{8 + 3 (- 1) \frac{24 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.12.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\int \sqrt{8 + 3 \cdot - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{8 + 3 \cdot - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.12.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $3$ .

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Schritt 2.1.1.13.1

Faktorisiere $3$ aus $24 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3 (1)}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3 \cdot 1}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{8 \sin^{2} (t)}{1}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.13.2.4

Dividiere $8 \sin^{2} (t)$ durch $1$ .

$\int \sqrt{8 - 1 (8 \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.14

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\int \sqrt{8 - 8 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\int \sqrt{8 (1) - 8 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $8$ aus $- 8 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{8 (1) + 8 (- \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (1) + 8 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{8 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{8 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $8 \cos^{2} (t)$ als ${(2 \cos (t))}^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\int \sqrt{4 (2) \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\int \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.6.3

Bewege $2$ .

$\int \sqrt{2^{2} \cos^{2} (t) \cdot 2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.6.4

Schreibe $2^{2} \cos^{2} (t)$ als ${(2 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2} \cdot 2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int 2 \cos (t) \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ und $2$ .

$\int \frac{2 \sqrt{6} \cos (t) \cdot 2}{3} \cos (t) \sqrt{2} d t$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos (t)}{3} \cos (t) \sqrt{2} d t$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{4 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ und $\cos (t)$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos (t) \cos (t)}{3} \sqrt{2} d t$

Schritt 2.2.4

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3} \sqrt{2} d t$

Schritt 2.2.5

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3} \sqrt{2} d t$

Schritt 2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{4 \sqrt{6} {\cos (t)}^{1 + 1}}{3} \sqrt{2} d t$

Schritt 2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t)}{3} \sqrt{2} d t$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t)}{3}$ und $\sqrt{2}$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t) \sqrt{2}}{3} d t$

Schritt 2.2.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int \frac{4 \sqrt{2 \cdot 6} \cos^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\int \frac{4 \sqrt{12} \cos^{2} (t)}{3} d t$

Schritt 3

Da $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{12}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{2 (3)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}))) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))) + C$

Schritt 15.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}))) + C$

Schritt 15.1.2.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}))) + C$

Schritt 15.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}))) + C$

Schritt 15.1.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}))) + C$

Schritt 15.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}))) + C$

Schritt 15.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}))) + C$

Schritt 15.1.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.1.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

Schritt 15.1.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

Schritt 15.1.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Schritt 15.1.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Schritt 15.1.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}))) + C$

Schritt 15.1.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2}))) + C$

Schritt 15.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}))) + C$

Schritt 15.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{2 \cdot 2}))) + C$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))) + C$

Schritt 15.1.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ und $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Schritt 15.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Schritt 15.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4})) + C$

Schritt 15.5

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 16.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Schritt 16.5

Stelle die Terme um.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{6}}{4} x) + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{6}}{4} x)) + C$