Analysis Beispiele

$\int \sqrt{x} (6 - x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 6 - x$ und $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 1 d x$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $- 1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{3} d x$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ mit $1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Schritt 5

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ als $4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ um.

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.2.5

Um $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.2.9

Addiere $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ und $4 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.2.10

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Schritt 7.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)} + C$

Schritt 7.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

Schritt 7.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 7.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$