Analysis Beispiele

$x^{2} + 2 x y - y^{2} = 6$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x y - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y'$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x y' - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x y'$ heraus.

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' x + 2 y' (- y)$ heraus.

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y$ durch $2 (x - y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y$ durch $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x - y}{x - y}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- (x) - y}{x - y}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (x) - (y)}{x - y}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (x + y)}{x - y}$

Schritt 5.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.2.5.1

Schreibe $- (x + y)$ als $- 1 (x + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (x + y)}{x - y}$

Schritt 5.3.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x + y}{x - y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{x - y}$