Analysis Beispiele

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $t$ aus $t - 2 t^{8}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int \frac{t^{1} - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\int \frac{t \cdot 1 - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $t$ aus $- 2 t^{8}$ heraus.

$\int \frac{t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})$ heraus.

$\int \frac{t (1 - 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 2.2

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int t (1 - 2 t^{7}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.3

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Bewege $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t (1 - 2 t^{7}) d t$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 2.3.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Schritt 2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int t^{- \frac{1}{2} + 1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Schritt 2.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Schritt 2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Schritt 2.3.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Schritt 3

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7})$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Schritt 3.2

Stelle $t^{\frac{1}{2}}$ und $1$ um.

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Schritt 3.3

Stelle $t^{\frac{1}{2}}$ und $- 2$ um.

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7} d t$

Schritt 3.6

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Schritt 3.7

Kombiniere $7$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}} d t$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 7 \cdot 2}{2}} d t$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 14}{2}} d t$

Schritt 3.9.2

Addiere $1$ und $14$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int t^{\frac{15}{2}} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{15}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{17}) t^{\frac{17}{2}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{17}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$