Analysis Beispiele

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{3} (x)$ heraus.

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 1.2

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Schritt 1.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Schritt 1.4

Schreibe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Schritt 1.5.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.7

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Schritt 1.9

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec (x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1

Bewege $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Schritt 1.9.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$