Analysis Beispiele

$\int t^{2} \sin (B t) d t$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t^{2}$ und $d v = \sin (B t)$ .

$t^{2} (- \frac{\cos (B t)}{B}) - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $t^{2}$ und $\frac{\cos (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - 2 \frac{\cos (B t)}{B} t d t$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t)}{B} t d t$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{- 2 \cos (B t)}{B}$ und $t$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t) t}{B} d t$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - - \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + 1 \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$ mit $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

Schritt 5

Da $\frac{2}{B}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{2}{B}$ aus dem Integral.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} \int \cos (B t) t d t$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = \cos (B t)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (t \frac{\sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

Schritt 7

Kombiniere $t$ und $\frac{\sin (B t)}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{B}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{B}$ aus dem Integral.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - (\frac{1}{B} \int \sin (B t) d t))$

Schritt 9

Sei $u = B t$ . Dann ist $d u = B d t$ , folglich $\frac{1}{B} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = B t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $B t$ .

$\frac{d}{d t} [B t]$

Schritt 9.1.2

Da $B$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $B t$ nach $t$ gleich $B \frac{d}{d t} [t]$ .

$B \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$B \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$B$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \sin (u) \frac{1}{B} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \frac{\sin (u)}{B} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{B}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{B}$ aus dem Integral.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} (\frac{1}{B} \int \sin (u) d u))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{B}$ mit $\frac{1}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B \cdot B} \int \sin (u) d u)$

Schritt 12.2

Potenziere $B$ mit $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B} \int \sin (u) d u)$

Schritt 12.3

Potenziere $B$ mit $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B^{1}} \int \sin (u) d u)$

Schritt 12.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

Schritt 12.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} \int \sin (u) d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Schreibe $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$ als $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$ um.

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$

Schritt 14.2

Vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Um $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{B}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) \cdot \frac{B}{B} + C$

Schritt 14.2.2

Kombiniere $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ und $\frac{B}{B}$ .

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

Schritt 14.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

Schritt 14.2.4

Kombiniere $B$ und $\frac{2}{B}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{B \cdot 2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Schritt 14.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $B$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 \cdot B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Schritt 14.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $B$ .

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Schritt 14.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Schritt 14.2.6.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $B t$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 \frac{t \sin (B t)}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Schritt 16.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{t \sin (B t)}{B}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 (t \sin (B t))}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Schritt 16.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (B t)}{B^{2}}$ .

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Schritt 16.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{2} \cos (B t)$ heraus.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Schritt 16.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\frac{2 t \sin (B t)}{B}$ heraus.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Schritt 16.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}$ heraus.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Schritt 16.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}$ heraus.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Schritt 16.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}$ heraus.

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Schritt 16.7

Schreibe $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ als $- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ um.

$\frac{- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

Schritt 16.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Schritt 16.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

Schritt 16.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} - \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$