Analysis Beispiele

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Schritt 1

Faktorisiere $\sqrt{t}$ aus $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $\sqrt{t}$ aus $t \sqrt{t}$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

Schritt 1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Schritt 1.3

Faktorisiere $\sqrt{t}$ aus $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Bringe $t^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

Schritt 2.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

Schritt 2.2.3

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1

Bewege $t^{- 2}$ .

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Schritt 2.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Schritt 2.2.3.3

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Schritt 2.2.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

Schritt 2.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Schritt 2.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

Schritt 2.2.3.6.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

Schritt 2.2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

Schritt 3

Multipliziere $t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

Schritt 3.2

Stelle $t^{- \frac{3}{2}}$ und $1$ um.

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 3.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 3.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 3.7

Addiere $- 3$ und $2$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $t^{- \frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 8.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$