Analysis Beispiele

$\int 2 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sec (4 x) \tan (4 x) d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = \sec (4 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 4 \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{2} = \sec (4 x) \tan (4 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = \sec (4 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4$

Schritt 2.1.3.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$4 \sec (4 x) \tan (4 x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ um.

$2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u_{2} + C$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Schritt 4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} u_{2} + C$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (4 x) + C$