Analysis Beispiele

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} - \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- z}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 {(e^{- z})}^{- 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- z})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{- z \cdot - 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $- z \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{1 z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $e^{z}$ mit $1$ .

$3 \int_{- 20}^{- 1} e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 4

Das Integral von $e^{z}$ nach $z$ ist $e^{z}$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{3 z} d z$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - (\frac{1}{3} \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{z} d z)$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{z}$ nach $z$ ist $\ln (| z |)$ .

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Berechne $e^{z}$ bei $- 1$ und $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

Schritt 8.1.2

Berechne $\ln (| z |)$ bei $- 1$ und $- 20$ .

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 20 |))$

Schritt 8.1.3

Entferne die Klammern.

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 20 |))$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.2.3

Um $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.2.4

Kombiniere $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3 - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (e^{- 1} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (\frac{1}{e} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \frac{1}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.3.4

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.3.5

Multipliziere $9 (- \frac{1}{e^{20}})$ .

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Schritt 8.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{\frac{9}{e} - 9 \frac{1}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.3.5.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.3.6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{| - 20 |})}{3}$

Schritt 8.3.7

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 20$ und $0$ ist $20$ .

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Schritt 8.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{9}{e} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Schritt 8.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.9.1

Um $\frac{9}{e}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9}{e} \cdot \frac{e^{19}}{e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Schritt 8.3.9.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $e^{20}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{e}$ mit $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Schritt 8.3.9.2.2

Multipliziere $e$ mit $e^{19}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.9.2.2.1

Mutltipliziere $e$ mit $e^{19}$ .

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Schritt 8.3.9.2.2.1.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1} e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Schritt 8.3.9.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1 + 19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Schritt 8.3.9.2.2.2

Addiere $1$ und $19$ .

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{20}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Schritt 8.3.9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

Schritt 8.3.9.4

Um $- \ln (\frac{1}{20})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20}) \cdot \frac{e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Schritt 8.3.9.5

Kombiniere $- \ln (\frac{1}{20})$ und $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ .

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} + \frac{- \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Schritt 8.3.9.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

Schritt 8.3.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.3.11

Mutltipliziere $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20} \cdot 3}$

Schritt 8.3.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{20}$ .

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 \cdot e^{20}}$

Schritt 8.3.13

Stelle die Faktoren in $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 e^{20}}$ um.

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

Dezimalform:

$2.10221574 \dots$

Schritt 10