Analysis Beispiele

$e^{5 x} + e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $e^{5 x} + e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{5 x} + e^{- x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{5 x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.2.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$5 e^{5 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 e^{5 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 2.1.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$5 e^{5 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 2.1.3.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 e^{5 x} - e^{- x}$ .

$5 e^{5 x} - e^{- x}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$

Schritt 3.2

Bringe $- e^{- x}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$5 e^{5 x} = e^{- x}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5 e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe $\ln (5 e^{5 x})$ als $\ln (5) + \ln (e^{5 x})$ um.

$\ln (5) + \ln (e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.4.2

Zerlege $\ln (e^{5 x})$ durch Herausziehen von $5 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + 5 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.4.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (5) + 5 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (e^{- x})$

Schritt 3.5

Multipliziere die rechte Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + 5 x = - x \ln (e)$

Schritt 3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (5) + 5 x = - x \cdot 1$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (5) + 5 x = - x$

Schritt 3.6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (5) + 5 x + x = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $5 x$ und $x$ .

$\ln (5) + 6 x = 0$

Schritt 3.7

Subtrahiere $\ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - \ln (5)$

Schritt 3.8

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - \ln (5)$ durch $6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - \ln (5)$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Schritt 3.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (5)}{6}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (5)}{6}$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \frac{\ln (5)}{6}$ .

$- \frac{\ln (5)}{6}$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = e^{5 x} + e^{- x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6}) \cup (- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6}) \cup (- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.26823965$ .

$f' (- 1.26823965) = 5 e^{5 (- 1.26823965)} - e^{- (- 1.26823965)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1.26823965$ .

$f' (- 1.26823965) = 5 e^{- 6.34119826} - e^{- (- 1.26823965)}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.26823965) = 5 (\frac{1}{e^{6.34119826}}) - e^{- (- 1.26823965)}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{e^{6.34119826}}$ .

$f' (- 1.26823965) = \frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{- (- 1.26823965)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1.26823965$ .

$f' (- 1.26823965) = \frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$ .

$\frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$- 3.54577878$

Schritt 6.4

Bei $x = - 1.26823965$ ist die Ableitung $- 3.54577878$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.73176034$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{5 (0.73176034)} - e^{- (0.73176034)}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0.73176034$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - e^{- (0.73176034)}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.73176034$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - e^{- 0.73176034}$

Schritt 7.2.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$ .

$5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$193.59296235$

Schritt 7.4

Bei $x = 0.73176034$ ist die Ableitung $193.59296235$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$

Schritt 9