Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{4} 2 + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{4} 2 d y + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$2 y]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Schritt 5

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- \frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{4} y^{2} d y$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $2 y$ bei $4$ und $- 2$ .

$(2 \cdot 4) - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Schritt 7.2

Berechne $\frac{1}{2} y^{2}$ bei $4$ und $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

Schritt 7.3

Berechne $\frac{1}{3} y^{3}$ bei $4$ und $- 2$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$8 + 4 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.3

Addiere $8$ und $4$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$12 + \frac{1}{2} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 7.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 + \frac{1}{2} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.6.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.7

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} \cdot 4) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 4 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 4}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 7.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 2}{1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.10.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$12 + \frac{1}{2} (8 - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.11

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$12 + \frac{1}{2} \cdot 6 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$12 + \frac{6}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 7.4.13.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 + \frac{3}{1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.13.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$12 + 3 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.14

Addiere $12$ und $3$ .

$15 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.15

Potenziere $4$ mit $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.16

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $64$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Schritt 7.4.17

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

Schritt 7.4.18

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

Schritt 7.4.19

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3}$ .

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

Schritt 7.4.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{64 + 8}{3}$

Schritt 7.4.21

Addiere $64$ und $8$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72}{3}$

Schritt 7.4.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $3$ .

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Schritt 7.4.22.1

Faktorisiere $3$ aus $72$ heraus.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3}$

Schritt 7.4.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.22.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

Schritt 7.4.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

Schritt 7.4.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{1}$

Schritt 7.4.22.2.4

Dividiere $24$ durch $1$ .

$15 - \frac{1}{4} \cdot 24$

Schritt 7.4.23

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$15 - 24 (\frac{1}{4})$

Schritt 7.4.24

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{4}$ .

$15 + \frac{- 24}{4}$

Schritt 7.4.25

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $4$ .

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Schritt 7.4.25.1

Faktorisiere $4$ aus $- 24$ heraus.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

Schritt 7.4.25.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.25.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

Schritt 7.4.25.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

Schritt 7.4.25.2.3

Forme den Ausdruck um.

$15 + \frac{- 6}{1}$

Schritt 7.4.25.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$15 - 6$

Schritt 7.4.26

Subtrahiere $6$ von $15$ .

$9$

Schritt 8