Analysis Beispiele

$\int - 15 x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

Schritt 1

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 15$ aus dem Integral.

$- 15 \int x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

Schritt 2

Sei $u = - 3 x^{5} - 1$ . Dann ist $d u = - 15 x^{4} d x$ , folglich $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - 3 x^{5} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- 3 x^{5} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5} - 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{5} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 15 x^{4} + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $- 15 x^{4}$ und $0$ .

$- 15 x^{4}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 15 \int u^{5} \frac{1}{- 15} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 15 \int u^{5} (- \frac{1}{15}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{15}$ .

$- 15 \int - \frac{u^{5}}{15} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 15 (- \int \frac{u^{5}}{15} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 15$ .

$15 \int \frac{u^{5}}{15} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{15}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{15}$ aus dem Integral.

$15 (\frac{1}{15} \int u^{5} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{15}$ und $15$ .

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int u^{5} d u$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\int u^{5} d u$ mit $1$ .

$\int u^{5} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x^{5} - 1$ .

$\frac{1}{6} {(- 3 x^{5} - 1)}^{6} + C$