Analysis Beispiele

$\int_{1}^{32} x^{- (\frac{7}{5})} d x$

Schritt 1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{7}{5}}$ nach $x$ gleich $- \frac{5}{2} x^{- \frac{2}{5}}$ .

$- \frac{5}{2} x^{- \frac{2}{5}}]_{1}^{32}$

Schritt 2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 2.1

Berechne $- \frac{5}{2} x^{- \frac{2}{5}}$ bei $32$ und $1$ .

$(- \frac{5}{2} \cdot 32^{- \frac{2}{5}}) + \frac{5}{2} \cdot 1^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{32^{\frac{2}{5}}} + \frac{5}{2} \cdot 1^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{{(2^{5})}^{\frac{2}{5}}} + \frac{5}{2} \cdot 1^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2^{5 (\frac{2}{5})}} + \frac{5}{2} \cdot 1^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2^{5 (\frac{2}{5})}} + \frac{5}{2} \cdot 1^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{5}{2} \cdot 1^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} \cdot 1^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{4 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot 1^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{5}{8} + \frac{5}{2} \cdot 1^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{5}{8} + \frac{5}{2} \cdot 1$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{5}{8} + \frac{5}{2}$

Schritt 2.2.10

Um $\frac{5}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{5}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.2.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot 4}{8}$

Schritt 2.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 + 5 \cdot 4}{8}$

Schritt 2.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.13.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{- 5 + 20}{8}$

Schritt 2.2.13.2

Addiere $- 5$ und $20$ .

$\frac{15}{8}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{15}{8}$

Dezimalform:

$1.875$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{7}{8}$

Schritt 4