Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

Schritt 2

Sei $x = 4 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 4 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sin (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $16$ aus $- 16 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.6

Wende die Produktregel auf $16 \cos^{2} (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.7

Potenziere $16$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Schritt 3.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.9

Schreibe $4096 \cos^{6} (t)$ als ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 \cos (t)$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4 \cos (t)$ aus $64 \cos^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{16}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ nach $\sec^{2} (t)$ um.

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$