Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

Schritt 2

Schreibe $x^{3}$ als ${(x^{3})}^{1}$ um.

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = x^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{3}$ ein.

$u_{lower} = 1^{3}$

Schritt 3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{3}$ ein.

$u_{upper} = 3^{3}$

Schritt 3.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$u_{upper} = 27$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Schritt 4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $8 u_{1} + 1$ .

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 8 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $8 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ .

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Schritt 7.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $8 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 7.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$8 + 0$

Schritt 7.1.4.2

Addiere $8$ und $0$ .

$8$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ ein.

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$u_{lower} = 8 + 1$

Schritt 7.3.2

Addiere $8$ und $1$ .

$u_{lower} = 9$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ ein.

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $27$ .

$u_{upper} = 216 + 1$

Schritt 7.5.2

Addiere $216$ und $1$ .

$u_{upper} = 217$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Schritt 8.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $2$ .

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

Schritt 12

Berechne $\ln (| u_{2} |)$ bei $217$ und $9$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $217$ ist $217$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

Schritt 14.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $9$ ist $9$ .

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

Dezimalform:

$0.79566819 \dots$

Schritt 16