Analysis Beispiele

$\int \sqrt{9 x^{4} - 6 x^{2} + 1} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3}$ positiv ist.

$\int \sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t))}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $\sec (t)$ .

$\int \sqrt{9 {(\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3})}^{4} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3}$ an.

$\int \sqrt{9 \frac{{(\sqrt{3} \sec (t))}^{4}}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.4.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} \sec (t)$ an.

$\int \sqrt{9 \frac{{\sqrt{3}}^{4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 2.1.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{9 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{4}{2}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.5.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.5.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{9 \frac{3^{\frac{2}{1}} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\int \sqrt{9 \frac{3^{2} \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{3^{4}} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.6

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{81} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{9 (9)} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{9 \frac{9 \sec^{4} (t)}{9 \cdot 9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{\frac{9 \sec^{4} (t)}{9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{\frac{9 \sec^{4} (t)}{9} - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.8.2

Dividiere $\sec^{4} (t)$ durch $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t))}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.11

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $\sec (t)$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 {(\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3})}^{2} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.12.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3} \sec (t)}{3}$ an.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{(\sqrt{3} \sec (t))}^{2}}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.12.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} \sec (t)$ an.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.13

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3^{1} \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.13.5

Berechne den Exponenten.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3^{2}} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.14

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 6 \frac{3 \sec^{2} (t)}{9} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.15.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 (- 2) \frac{3 \sec^{2} (t)}{9} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.15.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 \cdot - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \cdot 3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + 3 \cdot - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \cdot 3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.15.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 2 \frac{3 \sec^{2} (t)}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 \sec^{2} (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 2 (3 \sec^{2} (t))}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.17

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 6 \sec^{2} (t)}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 2.1.18.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.18.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3 (1)} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{3 (- 2 \sec^{2} (t))}{3 \cdot 1} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) + \frac{- 2 \sec^{2} (t)}{1} + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.18.2.4

Dividiere $- 2 \sec^{2} (t)$ durch $1$ .

$\int \sqrt{\sec^{4} (t) - 2 \sec^{2} (t) + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\sec^{4} (t)$ als ${(\sec^{2} (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \sec^{2} (t) + 1} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \sec^{2} (t) + 1^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \sec^{2} (t) = 2 \cdot \sec^{2} (t) \cdot 1$

Schritt 2.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{2} - 2 \cdot \sec^{2} (t) \cdot 1 + 1^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = \sec^{2} (t)$ und $b = 1$ .

$\int \sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{2}} \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int (\sec^{2} (t) - 1) \frac{\sqrt{3} \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 3

Sei $u = \sec (t)$ . Dann ist $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \sec (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u^{2} - 1) \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Schritt 4

Multipliziere $(u^{2} - 1) \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\int u^{2} \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} - 1 \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Schritt 5.2

Schreibe $- 1 \frac{\sqrt{3}}{3}$ als $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ um.

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u^{2} \sqrt{3}}{3} d u + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Schritt 7

Da $\frac{\sqrt{3}}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{\sqrt{3}}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int u^{2} d u + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - \frac{\sqrt{3}}{3} d u$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C) - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} u^{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} u + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u$ durch $\sec (t)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} \sec^{3} (t) - \frac{\sqrt{3}}{3} \sec (t) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\sqrt{3} x)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} \sec^{3} (arcsec (\sqrt{3} x)) - \frac{\sqrt{3}}{3} \sec (arcsec (\sqrt{3} x)) + C$