Analysis Beispiele

$\int_{1}^{7} x \sqrt{6 x^{2} + 4} d x$

Schritt 1

Sei $u = 6 x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = 12 x d x$ , folglich $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 6 x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $6 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $12 x$ und $0$ .

$12 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 6 x^{2} + 4$ ein.

$u_{lower} = 6 \cdot 1^{2} + 4$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 6 \cdot 1 + 4$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$u_{lower} = 6 + 4$

Schritt 1.3.2

Addiere $6$ und $4$ .

$u_{lower} = 10$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 6 x^{2} + 4$ ein.

$u_{upper} = 6 \cdot 7^{2} + 4$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 49 + 4$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $49$ .

$u_{upper} = 294 + 4$

Schritt 1.5.2

Addiere $294$ und $4$ .

$u_{upper} = 298$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 298$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{10}^{298} \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{12}$ .

$\int_{10}^{298} \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{12} \int_{10}^{298} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{12} \int_{10}^{298} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{10}^{298}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $298$ und $10$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{2}{3} \cdot 298^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 10^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $298^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 298^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 10^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $10^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 298^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Schritt 6.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $10^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 298^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 10^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 298^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{12} (- \frac{2 \cdot 10^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2

Kombinieren.

$\frac{1 (2 \cdot 298^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{12} (- \frac{2 \cdot 10^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 \cdot 10^{\frac{3}{2}}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{1 (2 \cdot 298^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{12} \cdot \frac{- 2 \cdot 10^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{1 (2 \cdot 298^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{2 (6)} \cdot \frac{- 2 \cdot 10^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 10^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{1 (2 \cdot 298^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{2 (6)} \cdot \frac{2 (- 10^{\frac{3}{2}})}{3}$

Schritt 7.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (2 \cdot 298^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot \frac{2 (- 10^{\frac{3}{2}})}{3}$

Schritt 7.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (2 \cdot 298^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 298^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{6 \cdot 3}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 298^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{18}$

Schritt 7.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $1 (2 \cdot 298^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (1 \cdot (298^{\frac{3}{2}}))}{12 \cdot 3} + \frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{18}$

Schritt 7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (1 \cdot (298^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{18}$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 \cdot (298^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{18}$

Schritt 7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 \cdot (298^{\frac{3}{2}})}{6 \cdot 3} + \frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{18}$

Schritt 7.6.3

Mutltipliziere $298^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{298^{\frac{3}{2}}}{6 \cdot 3} + \frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{18}$

Schritt 7.6.4

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{298^{\frac{3}{2}}}{18} + \frac{- 10^{\frac{3}{2}}}{18}$

Schritt 7.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{298^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{10^{\frac{3}{2}}}{18}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{298^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{10^{\frac{3}{2}}}{18}$

Dezimalform:

$284.03637893 \dots$

Schritt 9