Analysis Beispiele

$\int 1 - \csc^{2} (2 x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - \csc^{2} (2 x) d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - \csc^{2} (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - \int \csc^{2} (2 x) d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C - \int \csc^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\csc^{2} (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\csc^{2} (u)}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \csc^{2} (u) d u)$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \cot (u)$ gleich $\csc^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u)$ gleich $- \cot (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (- \cot (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$x + \frac{\cot (u)}{2} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x + \frac{\cot (2 x)}{2} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$x + \frac{1}{2} \cot (2 x) + C$