Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.1.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $e$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Schritt 7.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $e$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 7.1.3.4

Um $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 7.1.3.5

Kombiniere $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 7.1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 7.1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{2}$

Schritt 7.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{2}$

Schritt 7.3.3

Dividiere $e$ durch $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (e) - 1}{2}$

Schritt 7.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \cdot 1 - 1}{2}$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 - 1}{2}$

Schritt 7.3.6

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Dezimalform:

$2.19452804 \dots$

Schritt 9