Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{3} - 3 x}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3} - 3 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) - 3 x}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot - 3}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2}) + x \cdot - 3$ heraus.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x^{2}} d x$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{2} - 3}{x} d x$

Schritt 2

Dividiere $4 x^{2} - 3$ durch $x$ .

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Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$3$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$4 x^{2}$	+	$0$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} + 0$

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 2.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$3$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{3}{x} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $e$ und $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Schritt 11.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $e$ und $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Schritt 11.3.5

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Schritt 11.3.6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{1})$

Schritt 11.3.7

Dividiere $e$ durch $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (e)$

Schritt 11.3.8

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3 \cdot 1$

Schritt 11.3.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 3$

Schritt 11.3.10

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$2 e^{2} - 5$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 e^{2} - 5$

Dezimalform:

$9.77811219 \dots$

Schritt 13