Analysis Beispiele

$\int_{10}^{20} \frac{30}{x} + 25 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{10}^{20} \frac{30}{x} d x + \int_{10}^{20} 25 d x$

Schritt 2

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $30$ aus dem Integral.

$30 \int_{10}^{20} \frac{1}{x} d x + \int_{10}^{20} 25 d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$30 (\ln (| x |)]_{10}^{20}) + \int_{10}^{20} 25 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$30 (\ln (| x |)]_{10}^{20}) + 25 x]_{10}^{20}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $20$ und $10$ .

$30 ((\ln (| 20 |)) - \ln (| 10 |)) + 25 x]_{10}^{20}$

Schritt 5.1.2

Berechne $25 x$ bei $20$ und $10$ .

$30 (\ln (| 20 |) - \ln (| 10 |)) + 25 \cdot 20 - 25 \cdot 10$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $25$ mit $20$ .

$30 (\ln (| 20 |) - \ln (| 10 |)) + 500 - 25 \cdot 10$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $- 25$ mit $10$ .

$30 (\ln (| 20 |) - \ln (| 10 |)) + 500 - 250$

Schritt 5.1.3.3

Subtrahiere $250$ von $500$ .

$30 (\ln (| 20 |) - \ln (| 10 |)) + 250$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$30 \ln (\frac{| 20 |}{| 10 |}) + 250$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $20$ ist $20$ .

$30 \ln (\frac{20}{| 10 |}) + 250$

Schritt 5.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $10$ ist $10$ .

$30 \ln (\frac{20}{10}) + 250$

Schritt 5.3.3

Dividiere $20$ durch $10$ .

$30 \ln (2) + 250$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$30 \ln (2) + 250$

Dezimalform:

$270.79441541 \dots$

Schritt 7