Analysis Beispiele

$\int 14 {(x - 5)}^{6} d x$

Schritt 1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $14$ aus dem Integral.

$14 \int {(x - 5)}^{6} d x$

Schritt 2

Sei $u = x - 5$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$14 \int u^{6} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$14 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $14 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$ als $14 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$ um.

$14 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $14$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{14}{7} u^{7} + C$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $7$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $14$ heraus.

$\frac{7 \cdot 2}{7} u^{7} + C$

Schritt 4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{7 \cdot 2}{7 (1)} u^{7} + C$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 1} u^{7} + C$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} u^{7} + C$

Schritt 4.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 u^{7} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$2 {(x - 5)}^{7} + C$