Analysis Beispiele

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

Schritt 1

Da $24$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

Schritt 2

Dividiere $t$ durch $2 t + 3$ .

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Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 t$

$3$

$t$

$0$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $t$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 t$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $t + \frac{3}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Schritt 7

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

Schritt 8

Sei $u = 2 t + 3$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 2 t + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $2 t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

Schritt 8.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Schritt 8.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Schritt 8.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

Schritt 8.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 8.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 8.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t + 3$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 3$

Schritt 8.3.2

Addiere $0$ und $3$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t + 3$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$u_{upper} = 20 + 3$

Schritt 8.5.2

Addiere $20$ und $3$ .

$u_{upper} = 23$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ und $\frac{3}{4}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

Schritt 13.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $\frac{t}{2}$ bei $10$ und $0$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Schritt 14.2

Berechne $\ln (| u |)$ bei $23$ und $3$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 14.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.1.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 14.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.4

Addiere $5$ und $0$ .

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.5

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.6

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{4}$ .

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Schritt 14.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Schritt 14.3.8

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Schritt 14.3.9

Kombiniere $24$ und $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ .

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

Schritt 14.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $4$ .

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Schritt 14.3.10.1

Faktorisiere $4$ aus $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ heraus.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

Schritt 14.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

Schritt 14.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

Schritt 14.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

Schritt 14.3.10.2.4

Dividiere $6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ durch $1$ .

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

Schritt 15

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $23$ ist $23$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

Schritt 16.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Schritt 16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Schritt 16.4

Mutltipliziere $6$ mit $20$ .

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Schritt 16.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Dezimalform:

$83.33612530 \dots$

Schritt 18