Analysis Beispiele

$y = - \frac{y}{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{y}{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{y}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = x$ .

$- \frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot 0$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ und $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$y' x^{2} = - \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ in den Zähler.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y' x^{2} = - (x y' - y)$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x^{2} = - (x y') - - y$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' x^{2} = - x y' + 1 y$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y' x^{2} = - x y' + y$

Schritt 5.2.1.4

Bewege $x$ .

$y' x^{2} = - 1 y' x + y$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $- 1 y'$ als $- y'$ um.

$y' x^{2} = - y' x + y$

Schritt 5.3.2

Addiere $y' x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' x^{2} + y' x = y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x^{2} + y' x$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x^{2}$ heraus.

$y' x \cdot x + y' x = y$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x$ heraus.

$y' x \cdot x + y' x \cdot 1 = y$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x \cdot x + y' x \cdot 1$ heraus.

$y' x (x + 1) = y$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' x (x + 1) = y$ durch $x (x + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' x (x + 1) = y$ durch $x (x + 1)$ .

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{x (x + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (x + 1)}$