Analysis Beispiele

$\int_{0}^{7} 4 x \cdot \sqrt[3]{x + 1} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$4 (x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x))$

Schritt 5

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{upper} = 7 + 1$

Schritt 5.5

Addiere $7$ und $1$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{4}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ und $\frac{3}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8} \cdot 3}{4})$

Schritt 7.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3 \cdot (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Schritt 7.4

Um $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Schritt 7.5

Kombiniere $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ und $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Schritt 7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4 - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

Schritt 7.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ .

$4 \frac{4 \cdot (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

Schritt 7.8

Kombiniere $4$ und $\frac{4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$ .

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

Schritt 7.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

Schritt 7.10

Dividiere $4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$ durch $1$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ bei $7$ und $0$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Schritt 8.2

Berechne $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ bei $8$ und $1$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Addiere $7$ und $1$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$4 (\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$4 (\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $7$ mit $48$ .

$4 (\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $336$ und $4$ .

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Schritt 8.3.8.1

Faktorisiere $4$ aus $336$ heraus.

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.8.2.4

Dividiere $84$ durch $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.9

Addiere $0$ und $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (84 - \frac{0 \cdot 3}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.12

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$4 (84 - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 8.3.13.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$4 (84 - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (84 - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.13.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (84 - 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (84 + 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.15

Addiere $84$ und $0$ .

$4 \cdot 84 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.16

Mutltipliziere $4$ mit $84$ .

$336 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.17

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.18

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.19.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.19.2

Forme den Ausdruck um.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.20

Potenziere $2$ mit $7$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.21

Mutltipliziere $3$ mit $128$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 8.3.22

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1}{7})$

Schritt 8.3.23

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

Schritt 8.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$336 - 3 \frac{384 - 3}{7}$

Schritt 8.3.25

Subtrahiere $3$ von $384$ .

$336 - 3 (\frac{381}{7})$

Schritt 8.3.26

Kombiniere $- 3$ und $\frac{381}{7}$ .

$336 + \frac{- 3 \cdot 381}{7}$

Schritt 8.3.27

Mutltipliziere $- 3$ mit $381$ .

$336 + \frac{- 1143}{7}$

Schritt 8.3.28

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$336 - \frac{1143}{7}$

Schritt 8.3.29

Um $336$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$336 \cdot \frac{7}{7} - \frac{1143}{7}$

Schritt 8.3.30

Kombiniere $336$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{336 \cdot 7}{7} - \frac{1143}{7}$

Schritt 8.3.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{336 \cdot 7 - 1143}{7}$

Schritt 8.3.32

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.32.1

Mutltipliziere $336$ mit $7$ .

$\frac{2352 - 1143}{7}$

Schritt 8.3.32.2

Subtrahiere $1143$ von $2352$ .

$\frac{1209}{7}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1209}{7}$

Dezimalform:

$172.71428571 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$172 \frac{5}{7}$

Schritt 10