Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Schritt 3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 4.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 4.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

Schritt 7

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $- \cos (x)$ bei $π$ und $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

Schritt 8.2

Berechne $- \cos (u)$ bei $2 π$ und $0$ .

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

Schritt 9.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Schritt 10.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Schritt 10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

Schritt 10.7

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

Schritt 10.8

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Schritt 10.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

Schritt 10.10

Addiere $- 1$ und $1$ .

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 10.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$4 + 0$

Schritt 10.12

Addiere $4$ und $0$ .

$4$