Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{x}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{3} d x$ , folglich $3 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{3}$ ein.

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{3}$ ein.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

Schritt 2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

Schritt 4

Schreibe $\tan^{2} (u)$ in $- 1 + \sec^{2} (u)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 8

Kombiniere $- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ und $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $- u + \tan (u)$ bei $\frac{π}{3}$ und $0$ .

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $\tan (0)$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Schritt 10.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Schritt 10.4

Addiere $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ und $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{3}$ in den Zähler.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Schritt 11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- π + 3 \sqrt{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- π + 3 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$2.05455976 \dots$