Analysis Beispiele

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

Schritt 2

Da $- c$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- c$ aus dem Integral.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

Schritt 4

Sei $u = - \frac{x}{c}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{c} d x$ , folglich $- c d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - \frac{x}{c}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- \frac{x}{c}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

Schritt 4.1.2

Da $- \frac{1}{c}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{c}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{c}$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - \frac{x}{c}$ ein.

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $c$ .

$u_{lower} = - 0$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - \frac{x}{c}$ ein.

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Schritt 4.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Schritt 4.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{c}$ zu dividieren.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

Schritt 6

Da $- c$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- c$ aus dem Integral.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Potenziere $c$ mit $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Schritt 7.2

Potenziere $c$ mit $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Schritt 7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Schritt 7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ bei $8$ und $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Schritt 9.2

Berechne $e^{u}$ bei $- \frac{8}{c}$ und $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $c$ mit $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $e^{- \frac{0}{c}}$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Schritt 9.3.5

Addiere $- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ und $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Schritt 9.3.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

Schritt 10.2

Multipliziere $- c^{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $c^{2}$ mit $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

Schritt 11