Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \sin (4 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \sin (4 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sin (4 x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sin (4 x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (4 π)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{upper} = \sin (0)$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

Schritt 2

Kombiniere ${u_{2}}^{6}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{6}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ bei $0$ und $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Schritt 5.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Schritt 5.2.6

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$0$