Analysis Beispiele

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{25 - 16 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 16 x^{2}}} d x$

Schritt 1.2

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 x$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0.25$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0.25$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 x$ ein.

$u_{upper} = 4 \cdot 0.5$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $0.5$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{5})$

$\frac{1}{4} \arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}}{4}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne $\arcsin (\frac{u}{5})$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{(\arcsin (\frac{2}{5})) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe $2$ als $1 (2)$ um.

$\frac{\arcsin (\frac{1 (2)}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Schreibe $5$ als $1 (5)$ um.

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\arcsin (\frac{2}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Berechne $\arcsin (\frac{2}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Schritt 7.1.2

Berechne $\arcsin (\frac{1}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - 1 \cdot 0.20135792}{4}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.20135792$ .

$\frac{0.41151684 - 0.20135792}{4}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $0.20135792$ von $0.41151684$ .

$\frac{0.21015892}{4}$

Schritt 7.2

Dividiere $0.21015892$ durch $4$ .

$0.05253973$

Schritt 8