Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

Schritt 1

Überprüfe, ob $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ stetig ist.

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Schritt 1.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[0, 4]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

Schritt 1.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} \geq 0$

Schritt 1.1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.1.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq 0$

Schritt 1.1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 1.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 4]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ differenzierbar ist.

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.2.12

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Schritt 2.1.1.3.2

Addiere $x^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[0, 4]$ stetig ist.

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Schritt 2.2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[0, 4]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt{x^{1}}$

Schritt 2.2.1.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\sqrt{x}$

Schritt 2.2.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 2.2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 4]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2.3

Die Funktion ist im Intervall $[0, 4]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[0, 4]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 3

Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall $[0, 4]$ stetig sein.

Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall $[0, 4]$ stetig.

Schritt 4

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2.12

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $x^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Schritt 6

Berechne das Integral.

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Schritt 6.1

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 6.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 6.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 6.1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 6.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 6.1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x$ ein.

$u_{upper} = 1 + 4$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $4$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 6.1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Schritt 6.1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Schritt 6.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Schritt 6.4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $5$ und $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache.

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Schritt 6.4.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.4.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 6.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Dezimalform:

$6.78689325 \dots$

Schritt 8