Analysis Beispiele

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ , $[- 1, 1]$

Schritt 1

Schreibe $y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Schritt 2

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[- 1, 1]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 x$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x d x)$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 \int_{- 1}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 \int_{- 1}^{1} x d x)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 12.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Berechne $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ bei $1$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 12.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.3

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.6

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.10

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 + 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.12

Addiere $3$ und $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{6}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.13

Kombiniere $3$ und $\frac{6}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.14

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 12.2.3.16

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

Schritt 12.2.3.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{1 - 1}{2})$

Schritt 12.2.3.18

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{2}))$

Schritt 12.2.3.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 12.2.3.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 12.2.3.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 12.2.3.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{1}))$

Schritt 12.2.3.19.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \cdot 0)$

Schritt 12.2.3.20

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} + 0)$

Schritt 12.2.3.21

Addiere $\frac{18}{5}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5})$

Schritt 13

Addiere $1$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{5}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (9)}{5}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 9}{5}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{9}{5}$

Schritt 15