Analysis Beispiele

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Schritt 1

Schreibe $y = 4 x - 2$ als Funktion.

$f (x) = 4 x - 2$

Schritt 2

Ermittele die Ableitung von $f (x) = 4 x - 2$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $4$ und $0$ .

$f' (x) = 4$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4$ .

$4$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 3]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 5

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 6

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 x]_{1}^{3})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $4 x$ bei $3$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} ((4 \cdot 3) - 4 \cdot 1)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12 - 4 \cdot 1)$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12 - 4)$

Schritt 8.2.3

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (8)$

Schritt 9

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 8$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 4$

Schritt 11